稀疏矩阵应用的实现

稀疏矩阵的存储和运算方法

稀疏矩阵是指绝大部分元素为0的矩阵，相对于稠密矩阵，稀疏矩阵的存储和运算方法有所不同，下面我们将具体介绍稀疏矩阵的存储方法和运算方法。

一、稀疏矩阵的存储方法

对于稀疏矩阵，我们可以采用三种方式来存储：

1. 按行存储

对于某个非0元素，我们可将其存储在一个三元组中，其中第一项为该元素所在行数，第二项为该元素所在列数，第三项为该元素的值，此时我们按照行数从小到大排序后逐行存储。相对于按列存储，按行存储的优点是在进行行运算时效率更高。

2. 按列存储

对于某个非0元素，我们可将其存储在一个三元组中，其中第一项为该元素所在行数，第二项为该元素所在列数，第三项为该元素的值，此时我们按照列数从小到大排序后逐列存储。相对于按行存储，按列存储更适合进行列运算。

3. 链式前向星法

链式前向星法是一种基于链表的存储方式，其主要思路是：首先将矩阵元素按照行号排序，然后建立一个指向每行第一个非零元素的指针，对于每个非零元素，我们还需要记录该元素在这一列中的下一个非零元素的位置。相对于前两种方法，链式前向星法可以在加法和减法运算中保持矩阵稀疏性。

二、稀疏矩阵的运算方法

对于稀疏矩阵，我们通常需要实现常见的运算，比较常见的有加法、减法和乘法三种运算。

1. 稀疏矩阵加法

稀疏矩阵加法的思路是将两个矩阵中相同位置的元素相加，因此在两个稀疏矩阵中，所要进行加法运算的元素必须要按照行数从小到大排序，并且要按行遍历。具体实现时，我们可以利用两个指针分别指向这两个矩阵的非零元素，逐行遍历两个矩阵，对于相同位置的元素，将其值相加并存储在结果矩阵中即可。

2. 稀疏矩阵减法

稀疏矩阵减法和加法类似，只不过需要将相减的两个矩阵中一个矩阵的元素值取反；这里需要注意的是，由于减法没有交换律，因此我们必须要从左边矩阵向右边矩阵的顺序进行减法运算，并且元素相减结果如果为0则不存储。

3. 稀疏矩阵乘法

稀疏矩阵乘法的实现较为复杂，常用的方法有CSR存储法和COO存储法，在这里我们主要介绍CSR存储法。

CSR存储法是一种基于行压缩存储的方法，其主要思路是将矩阵压缩为三个向量，分别存储非零元素、每行第一个非零元素在非零元素个数中的位置和每个元素所在的列号。具体实现时，我们可以先将左边矩阵转换为CSR格式，然后遍历右边矩阵的每一列，根据右边矩阵中每个非零元素所在的行号，从左边矩阵的CSR向量中提取该行的非零元素，然后按照列号进行乘法运算并将结果累加得出结果矩阵的对应元素。

稀疏矩阵的存储和运算方法与稠密矩阵有所不同，我们需要根据具体需求采用不同的存储方式和运算方法。

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